El vector director de una recta es cualquier vector con la misma dirección que la recta.
Para determinar una recta y sus ecuaciones, necesitamos conocer un punto y un vector director o dos puntos (para obtener un vector director).
Si tenemos un punto, A(a1,a2), y un vector director, u(u1,u2), de una recta r, entonces todos los puntos X Є r, que tienen como vector de posición X(x,y), cumplen:
En coordenadas:
Si despejamos λ:
Haciendo el producto en cruz y reduciendo:
La pendiente de una recta, m, es la tangente del ángulo que forma la recta con el eje X : m = tg α.
Se puede ver que:
Entonces, una recta puede quedar determinada también si sabemos un punto y su pendiente:
NOTA:
Una tercera opción para marcar la dirección de una recta es la de un vector ortogonal a su dirección, el vector normal, n(n1,n2). Entonces el producto escalar de este vector por el vector que une A y X es 0:
Dos rectas, r y s, pueden ser:
– Secantes, si se cortan en un punto. Si el ángulo que forman es de 900, son perpendiculares.
- Coincidentes, si tienen los mismos puntos.
- Paralelas, si no se cortan en ningún punto.
Caso 1. Conocemos un punto y un vector director de cada recta: r {A,u}; s {B,v}
–Si u y v son linealmente dependientes:
- Si u y AB son linealmente dependientes, r y s son coincidentes.
- Si u y AB son linealmente independientes, r y s son paralelas.
– Si u y v son linealmente independientes: r y s son secantes.
Caso 2. Conocemos un punto y la pendiente de cada recta: r {A,mr}; s {B,ms}
–Si mr = ms:
- Si A Є s, r y s son coincidentes.
- Si A no pertenece a S, r y s son paralelas.
– Si mr = ms: r y s son secantes.
Caso 3. Sabemos las ecuaciones implícitas de ambas rectas: r :Ax + By + C = 0; s: A’x+ B’y+ C’ = 0
Un haz de rectas secantes, es el conjunto de infinitas rectas que pasa por un punto P(p1,p2):
Un haz de rectas paralelas, es el conjunto de infinitas rectas paralelas a una dada r : Ax + By + C = 0:
La distancia entre dos puntos, A(a1,a2) y B(b1,b2), es el módulo del vector AB:
La distancia entre un punto y una recta, A(a1,a2) y r:Ax + By + C = 0, es:
La distancia entre dos rectas paralelas, r y s, es la distancia entre un punto en una de ellas y la otra recta: d(r,s)=d(A,s)=d(B,r)
El ángulo entre dos rectas, r y s, es:
Las coordenadas del punto medio del segmento AB, donde A(a1,a2) y B(b1,b2), son:
